作者：任星昱 单位：成都市金兴北路小学
摘 要：以北师大版四年级上册《用数对确定位置》一课的四个主要教学环节，谈如何借助现实有趣的多样化确定位置活动，沟通生活场景与数学本质的联系，在展现知识形成过程中凸显数学教学本质，提升应用价值。
关键词：数对 确定位置 数学本质
“用数对确定位置”是课标教材新引入内容。北师大版教材以学生熟悉的“班级座位图”场景引入，让学生经历从具体情境下用两个“第几”描述位置到用抽象数对确定位置的“数学化”过程。许多教师囿于教材的简单编排，按部就班地进行简单化、缺乏“数学味”的教学，学生虽能掌握知识，但课堂缺少一定的思维挑战性。我认为，在强调数学教学生活化的今天，不能用“生活味”取代“数学味”，而应借助现实有趣的多样化确定位置活动，沟通生活场景与数学本质的联系，在展现知识形成过程中凸显数学教学本质，提升应用价值。
环节一：借助真实场景，引发数学问题，在交流中领悟统一方法的必要性。
1．教前思考
皮亚杰的发展理论认为，儿童的认知发展是以学生已有图式与环境相互作用而产生的认知需要为动力。教材仅让学生在给定的“班级座位图”中描述小青位置来直接引出数对，虽能激活头脑中确定位置经验，但不易引发认知冲突。为此，我设计在真实课堂情境中提出问题——“你是怎样‘对号入座’快速找到自己的座位”，一方面让学生体会到原有用两个“第几”确定位置方法的局限性，从而产生要有新规定的内在需要。另一方面，学生在有效经历将生活问题抽象为数学问题的过程中，数学的本质在感知用统一方法“确定位置”的必要性中得以顺利凸显。
2．案例描述
（1）引入：今天，我们来到教室上课，老师要求同学们按教室里的座位就坐，你是怎样 “对号入座”快速找到自己座位的？
（2）学生汇报交流，教师适时评价。
（3）揭示课题：数学符号是交流的语言，要使大家都明白，需要规定一种统一的说法。今天我们就来学习用统一的办法“确定位置”。【板书课题：确定位置】
3．教后反思
学生已经会用两个“第几”确定物体在平面上的位置，为什么还要统一规定列、行？列、行编码规则与用两个“第几”表示物体在平面上的位置是什么关系？这是学生学习时的疑问和需要。作为教师要明确：用两个“第几”确定位置是学生对现实空间情境的具体描述，而列、行的规定是用更具概括性的数学方法确定位置。怎样让学生体会到这种关系呢？课始，我找准数学知识与学生生活密切联系的切入点，改在教室场景中提出“你是怎样‘对号入座’快速找到自己座位”这一问题引发认知不平衡，既自然凸显出学习“确定位置”的必要性，又为下面认识列与行、创造数对提供真实而鲜明的活动素材。学生在独立思考和有价值地交流中体会到原有方法的复杂性和不确定性，从而产生创造新方法的认知需求；在多种方法的比较中体会——确定位置必备列数和行数两个要素，为后面抓住数学知识的本质探讨数对产生的必要性埋下伏笔，学生的思维由一维认识上升至二维空间，这是思维的第一次提升。
环节二：自主尝试记录，主动构建模型，在方法比较中体验“数对”简洁。
1．教前思考
“数对”之所以用来表示平面直角坐标系中的点、描述生活中物体的位置，是因为这种数学化符号具有表达的简洁性。而教材呈现的数学知识是规范化的，省略隐含其中的有大量丰富内容的思维过程，这就带来了内容上包含着深刻的思维而形式上却简单了然的矛盾。为此，我设计了两次“记录被表扬同学位置”的活动，目的是将课本数学知识激活，沟通现实情境与语言描述、符号化记录方法之间的联系，引导学生从一些普通的生活现象背后发现隐含的数学知识，进而在多样化位置记录方法交流中逐步抽象出“数对”模型，在对比研究中感悟“数对”的简洁性。这样的设计，将典型的源自生活的数学问题在追求数学本质上做到返璞归真，还原其真实面貌，体现出浓浓的“数学味”。
2．案例描述
（1）介绍列、行
教师边指座位边介绍：在数学中，我们通常是用列与行来描述一个人或物体的位置【板书：列 行】。像这样的竖排叫做列，也就是我们平时说的第几组，横排叫做行，也就是刚才同学们提到的第几位。列数一般是从观察者最左边（也就是同学们的最右边）数起，行数一般是从前往后数。
（2）用列、行描述位置
A、用列数与行数来说一说自己的位置。
B、师快速口报几个表现优秀的学生位置，学生尝试记录。
C、展示交流学生多样化的记录方法，教师及时组织评价。
（3）认识数对
A、抽象数对
师：虽然记录方法各不相同，但大家都不约而同地保留下两个数，说明这两个数很重要。著名的法国数学家笛卡尔看到“蜘蛛结网”受到启发，把表示列与行的两个数放在一个括号里，中间用逗号隔开，规定前面的数为列，后面的数为行。这样的一对数叫做“数对”【板书：数对】，今天我们就一起来研究用“数对”确定位置。
B、以数对（3，4）为例介绍数对的读法、写法。
C、教师再次口报上述几个学生的位置，学生尝试用数对记录，体会其简洁性。
3．教后反思
北师大教材之所以安排在第二学段学习这一内容，正好与一年级上册学习用一个“第几”描述物体在直线上的位置和二年级上册学习用两个“第几”表示物体在平面上的位置，再到第三学段建立平面直角坐标系，构成一个较为完整的、螺旋上升的数学抽象过程。因此，我认为本课的教学价值不仅仅是教会学生用“数对”表示位置，更重要的是让学生在亲身经历快速记录的过程中体会到既有方法的繁琐与不便，自然而然地想方设法对原有记录进行改进和优化，催生出数对的雏形，逼进数学的简约、凝练的特质。为此，课上我设计两次“记录被表扬同学位置”的活动，并无重复之嫌。第一次是让学生经历表示位置的形式由文字描述到符号表达，在由繁到简的再创造过程中领悟用“数对”确定物体位置要从两个维度来考虑的数学本质；第二次是在加深主观体验的同时深切领悟到用数对记录位置的优越性。这样，学生在亲历抽象“数对”模型中理解其意义，在数学史实逻辑重演中领悟数学符号本身具有的简洁性。
环节三：从空间到平面，逐步抽象概括，在内化迁移中揭示“数对”本质。
1．教前思考
本课的教学难点是怎样让学生从“现实的座位图”抽象到“平面的坐标图”。北师大教材是从“班级座位表”这一直观层面上得出用“数对”确定位置的知识点后，则放手以“练一练”的形式直接让学生在抽象的方格纸上确定点的位置。但方格纸上的点与现实的座位有一定的反差，所以教材的编排跳跃性太大，缺少中间过渡的台阶。若教师如此按部就班地进行简单化的教学，对于空间能力尚在形成中的四年级学生来说有一定的难度。为此，我将教材内容进一步细化与分解，先将教室场景中学生座位“移入”大屏幕变成平面图，再抽象成格点图，沟通用数对确定具体情境中座位与格点图上对应点之间的联系，教学难点顺利突破。这样的设计不仅很好地渗透了“坐标”这一较难理解的数学知识，也让学生初步感知“序数对（m，n）与平面直角坐标系中点的位置之间有等价的一一对应的函数关系”的数学本质。
2．案例描述
（1）用数对表示方格图上点的位置
课件演示：“班级座位图”逐步添加横竖格线变成雏形坐标图（如图1），教师同步讲解——沟通具体情境下列、行和坐标图上列、行数法之间的联系。
学生用数对在方格图上表示自己的位置
A、课件演示：雏形坐标逐渐消除图像过渡成方格图（如图2），教师同步讲解——沟通具体情境下座位与格点图上点之间对应关系。
B、学生在方格图中快速找到自己的位置并用数对表示出来。
C、讨论：数对（6，2）和（2，6），为什么表示不同的位置？
数对（5，5）中两个“5”表示的意思一样吗？
师小结：在方格纸上确定点的位置要先写竖向的列数，再写横向的行数，不能颠倒前后顺序；一个具体位置可以用一个数对表示，一个数对只能表示一个确定点的位置。
（2）在“我说你做”的游戏中探索数对规律
活动1：屏幕上依次出示与（4，3）在同一列的其它数对，学生在游戏中发现：列数相同的位置在同一条直线上。
活动2：学生说出与（4，3）在同一行的数对，发现：行数相同的位置也在同一条直线上。
活动3：屏幕出示（4，X）相应列数学生起立，发现：必须有两个数才能准确定位，一个数是无法确定其具体位置的。
3．教后反思
美国教育家奥苏贝尔指出：学习是“认知结构的重组”，教者可以把学生原有认知结构中起固定作用的观念当成连接新、旧知识的纽带和桥梁。因此，我充分尊重教材提供的要素并适当创编，借助课件演示将教室里的位置和平面图上的位置紧密联系，依次创设三个由具体到抽象的螺旋上升情境：一是将真实座位场景“移入”屏幕变成班级座位图，将“数对”知识迁移到确定座位表上同学的位置；二是将班级座位图“渐变”成雏形坐标图，将“数对”知识再次迁移到确定方格图上点的位置，学生的思维在清晰抽象过程中自然从“空间的座位图”迁移到“平面的坐标图”，这是思维的第二次提升。三是通过游戏活动在观察比较中探索数对的规律，强化数对的本质，更好地实现“发展空间观念”的教学目标。特别是在数对中加入字母，既强化本节课的难点，又逐步抽象出数对的本质——任意两个有序数都可以表示平面上的任意一点。
环节四：回归生活实际，拓宽学生视野，在知识应用中凸显“数对”价值。
1．教前思考
“用数对确定位置”是学生认识图形知识的继续，又是第三学段学习平面直角坐标系、一次函数等知识的基础，在“图形与几何”领域起着承上启下的作用。如何使该课内容体现生活价值，又能在符号体系中恰当地生成和渗透数学价值呢？我认为：当全体学生已达成用“数对”确定位置的目标后，应设计分层练习：一是基本练习——用“数对”表示方格图上点的位置，目的是避免单一借助教室平面图来理解“数对”带来的认知上局限性和学习上疲劳感，从而让学生走入更广阔的社会生活中去理解方格图在确定位置中的作用；二是提高练习——根据数对在平面图上找点并进行平移，引导学生对数对本身进行研究与观察、猜想和验证；三是拓展应用——介绍笛卡尔发明数对的故事和地球上经纬线等知识应用。最后在对比“直线上的点、平面上的点及立体图形中点的位置该如何确定”这一系列问题中沟通一维线性空间与二维平面空间的联系，不断丰富“确定位置”的内涵。
2．案例描述
（1）基本练习：
A、课件出示教材第81页“练一练”第1题：先出示散落点，再添上列、行形成方格图。
B、学生用“数对”表示图上各建筑物的位置，在交流评价中进一步理解数对的意义。
（2）提高练习：
A、描一描：根据给定的6个数对A（4，6）、B（5，4）、D（5，3）、E（6，1）、G（2，1）、J（3，4）在方格图中用彩笔描出各点，并标上相应的字母。
B、移一移：将B点向右平移两格得到C点，再将J点向左平移两格得到I点，然后将D点向左平移两格得到H点，最后将A点向下平移四格得到F点。
C、连一连：将图上所有点按字母顺序依次用直线连起来。看一看，你有哪些新的发现？
（3）拓展应用：
A、介绍笛卡尔发明数对的故事和“数对”确定位置在生活中的广泛应用。
B、总结延伸——三种情况下确定位置的方法
课件演示排队情境进行拓展延伸：排一队时只需一个数就能确定一个点的位置；当有多列多行时，要用数对才能确定一个点的位置。那确定一个点的位置有需要3个数的时候吗？
3．教后反思
《数学课程标准（2011年版）》指出：空间观念在于能用合适的方式描述物体间的相互关系。根据心理学认知规律，当学生的认知达到平衡状态时，我先出示基本练习——让学生在地图上用数对表示散乱的景点位置，这不仅为学生深入理解用数对确定位置提供现实背景依托，同时培养了用数学的思维方式观察、思考问题的习惯；接着提高练习——引导学生从数的角度刻画点在平面上的位置，架起数与形之间的桥梁，帮助他们进一步理解由于横向和纵向位置变化而引起数对中数值的变化；最后安排拓展练习——让学生将书本知识与生活实际进行链接，感悟“数对”生活价值，拓展“数对”应用领域。这是教师有意识地引导学生透过史实触摸其背后的价值和观念，回到数学本质的层面彰显其文化性。特别是在课尾，当学生以现有经验用数对确定位置乐而忘返时，教师再次制造冲突，将学生的思维从课堂上引发开来，串联起从一维到二维再到三维的整体学习过程，体现出一种大数学观。
参考文献
[1]《义务教育数学课程标准（2011年版）》，中华人民共和国教育部制定，北京师范大学出版集团。
[2]《义务教育课程标准实验教科书数学教师教学用书四年级上册》，北京师范大学出版社，第118——119页。
[3]王欣：《“用数对确定位置”教学实录与反思》，《小学数学教师》2011年第6期，第10页。
