作者：李攀 单位：成都市龙江路小学分校
【关键词】错题摘录 专题式错例会诊 数学思想方法渗透 资源共享
数学是最古老的一门科学，也是当今现代科学发展最前沿的科学之一。其发展的经历是一个实践——认识——实践的过程，具有丰富的文化内涵。然而，由于长期受前苏联课堂教学思想和“应试教育”的影响，在我国传统的数学教学处于只重结果，不重过程和发展的静态教学状态之中，形成了“知识本位”、“教师中心”、“灌输为主”、“大运动量训练”的一种封闭的、程式化的固有模式。这样的模式不利于学生有效地进行学习。
本人通过教学实践觉得，错题摘录作为一种有效的学习手段为许多学生所采用，作为教师也可以错题摘录，因为教师不仅可以针对错例调整教学策略，从而提高教学针对性和有效性，还可以把学生的错例当作一种有效的教学资源，做专题式错例分析或分类渗透数学思想方法。老师应该培养学生养成良好的错例摘录的习惯，并通过互换、展示、收集整理《错例集锦》等方法充分发挥错例摘录本的作用。
【缘起】：申屠李融2008年浙江省的文科状元。老有记者喜欢问她成功的经验和诀窍，小姑娘望着天眨巴眼睛，想了半天才说：“其实没那么多诀窍，要说有，就是我的‘纠错本’，确实很有用”。从高一开始，她就开始把做错的题目整理在本子上，长时间积累的效果只有自己知道。“有时候连自己都觉得这个做法有点‘老土’但现在回想起来，确定对自己很有帮助”，这是申屠给学弟学妹们唯一的经验之谈。——摘自《杭州日报》
一本小小的“纠错本”成为高考状元成功的秘诀，在我们教学中也尝试使用这样类似的一个本子我称它为“错例摘录本”，不仅学生们人手一本，老师也有一本。
第一部分：基于教师层面错例摘录的实践研究
一、教师针对在教学过程中产生的错例，可以及时调整教学策略，提高教学实效性。
如何让学生在数学学习上“动手实践、自主探索、合作交流”，如何让教师在教学中“向学生提供学习的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。这些还有待于我们去重新认识。我们只有在数学课堂中，增强“知错——沟通——主体参与——纠错”四个活性因素，才能使我们的数学课堂冲破静态的、僵化的、沉闷的、封闭的局面，在学习和活动中做到自我调节、自我控制、自我教育，形成一个真正让师生去体现生命的意义，诠释生命的价值，表达生命的激情的促进学生数学有效学习的课堂。
案例1：错误率56%
右图是一个正方体的展开图，请你在3个空格中填上适当的数字，使得在原正方体中，两个相对的面上的数相加的和都是10,
错例分析：本题是北师大版小数五年级下册《展开与折叠》的一道练习题，全班竟然有28人做错，说明学生对正方体的展开图认识还有缺陷，学生的空间想像能力偏弱。
应对策略：针对这种“典型错例”（即学生作业中存在的普遍性错误），我及时布置了综合实践作业1、正方体的展开图有哪几种，在卡纸上画出来，并剪下来，折一折（要求正方体的棱长为1厘米）。2、在正方体展开图各个面上标上数字1—6，使相对面数字之和等于7。第二天在课堂上让学生把作业成果在实物投影仪上一一展示给全体同学看。他们不仅找出了各种正方体的展开图，还对展开图进行了分类取名如下：
第一类：1－4－1（即有3层从上到下分别有1个4个1个正方形的面）6种情况
第二类：1－3－2（即有3层从上到下分别有1个3个2个正方形的面）3种情况
第三类：3－3（即有2层从上到下分别有3个3个正方形的面）1种情况
第四类：2－2－2（即有3层从上到下分别有2个2个2个正方形的面）1种情况
反思：发展学生的空间观念，是《课程标准》中的一个重要目标，也是空间与图形学习的核心目标之一。学生空间观念的形成是建立在观察、感知、操作、思考、想像等基础上，动手操作是发展学生空间观念的重要手段。对学生的错例进行深入的分析和挖掘，通过让学生经历画一画、剪一剪、折一折等实践活动，充分感知平面图形（展开图）与立体图形（正方体）的联系，对知识的分类整理有利于帮助学生对知识的建构。制作完成的小正方体也成为后续学习正方体表面积，体积单位，露在外面的面，正方体体积的重要学具。
二、 对学生“复错率”高的错例，应小题大作，对错例进行“专题式”放大处理。
由于我们长期受传统课堂教学的影响已形成思维定势，如何有效地创建学生数学学习的个性的自主发展的有效课堂，已成为我们迫切要解决的问题。数学新课程强调通过发展学生的自主性使学生获得可持续的发展，并从课程目标、课程实施、课程评价等方面都对促进学生的自主性发展提出了具体要求。教学作为一种“学习——认知——再生问题”过程，所关注的是理想个体的知识、能力和人格的生成与发展，它有两个最根本的对立统一的基本点，即“价值引导”和“自主建构”。这种自主构建，在数学课堂中很大层面体现一种对于错误的认知，但是这种认知是容易形成反复的，就是我们数学中常言的“复错”，我们在实际教学中经常会出现下列情况，学生的错题经过教师引导已经正确，但是遇到类似问题时，却“犯同一个错误”。对于这样的情况，我们应该积极引导，做到“小题大做”，对错例进行重复，专项式的处理。可见，数学数学的人性化处理为小学生的人格发展提供了最适宜的土壤和良好的发展空间，引导和纠错两者完全可以有机地融合在一起。
案例2：又错了
大圆的直径是小圆的3倍，则大圆的周长是小圆的（ ），小圆的面积是大圆的（ ）
正解：大圆的直径是小圆的3倍，则大圆的周长是小圆的（ 3倍 ），小圆的面积是大圆的（ ）
错例：大圆的直径是小圆的3倍，则大圆的周长是小圆的（ 3倍 ），小圆的面积是大圆的（ 9倍或一个错误的分数）
学生访谈：
生1：上次我们做过大圆的直径是小圆的3倍，则大圆的周长是小圆的（ 3倍 ），大圆的面积是小圆的（ 9倍 ），今天没看清楚后半题变了，想都没想就填9倍。
生2：我是用假设法做的，假设大圆直径是3厘米，则小圆直径是1厘米，则大圆周长是3.14×3＝9.42厘米，小圆周长是3.14×1＝3.14厘米。因此大圆周长是小圆的9.42÷3.14＝3倍；大圆面积是3.14×（3÷2）2＝7.065厘米2，小圆面积是3.14×（1÷2）2＝0.785厘米2，因此小圆的面积是大圆的7.065÷0.785但是计算的时候，开始我发现除不通，在化成分数约分时约错了。
错例分析：这一类型题学生做到过，但复错率还是很高。从学生的访谈中，可以看出一部分学生是受了思维定势的影响，没有审清楚题目想当然出了错。而大部分的学生知道用假设法解决问题，但还是在计算的时候出了错。
应对策略：针对这种复错率高的题目，我采取了专题式错例会诊的方式实录如下：
呈现错例（略）
师：我们很多同学想到用假设法解决问题，这个办法挺好，但是计算的时候老是要出错。能不能想一个数字使计算变的简单一些呢？（学生思考）
生：不管假设直径是多少，计算还是麻烦，因为计算周长和面积都要乘3.14。
师：这个3.14的确给我们添了麻烦。我们有没有简单一些的办法来解决这个问题呢？
（组织学生小组讨论）
生1：我不计算就可以求出结果。因为大圆周长除以小圆周长＝（3.14×3）÷（3.14×1）＝3÷1＝3倍,小圆面积除以大圆面积＝[3.14×（1÷2）2]÷[3.14×（3÷2）2]＝（ ）2÷（ ）2＝
×
＝
。
师：生1的方法你们看的明白吗？你们觉的他的做法有道理吗？
生2：我看懂了，因为不论是求大圆的周长和面积还是求小圆的周长和面积，都要乘3.14,所以在计算的时候，被除数和除数可以先都除以3.14。
师：这样做的根据是——商不变性质。（生齐）
生3（表情激动）：我还有更简单的办法。
师：把你的方法让大家瞧瞧。
（他把方法呈现在实物投影上）
大圆的周长是小圆： ＝3 小圆的面积是大圆： ＝ ＝
师：你们觉得生3的方法好吗？
生：好！（还有学生鼓掌）
师：看来大家都很赞同生3的做法，他这样做的根据是——分数的基本性质。
生4：我不用计算就知道答案了。因为周长和直径都是长度，所以大圆的直径是小圆的3倍，那么大圆的周长是小圆的也是3倍，因为小圆的直径是大圆的， 而面积需要平方，所以小圆的面积是大圆的 。
师：说的真好，那么也就是说如果大圆的直径是小圆的a倍，则大圆的周长是小圆的（ a倍 ），大圆的面积是小圆的（a2倍），小圆周长是大圆的（ ）小圆的面积是大圆的（ ）
举一反三：
1、大圆的半径是小圆的4倍，则小圆的周长是大圆的（ ），小圆的面积是大圆的（ ）
2、大圆的半径是小圆的直径，则大圆的周长是小圆的（ ），大圆的面积是小圆的（ ）
3、甲圆的直径是乙圆的（ ），甲圆的面积是乙圆的（ ）。
4、如下图，大圆的半径和小圆的直径相等，如果大圆的周长是9.42米则小圆的周长是（ ），如果大
圆的面积20平方厘米，则阴影部分的面积是（ ）。
反思：对一道错例的充分展开，作专题式讲评，使错例的讲评成为学生思维交流进而得以提升的平台，举一反三的练习，要求学生对所学的知识灵活运用，使学生对所学的知识融会贯通，享受数学思考带来的乐趣。老师需要做个有心人，精心挑选错例，精心设计，适时点拨和引领。
三、 建立《错题集锦》，使错例成为重要的课程资源和备课参考。
在调查研究所收集的很多错例中，笔者发现：随着新课程的实施，新课标倡导的“有效接受”，并与体验、研究、发现相结合的学习方式---“主动参与、动手实践、自主探索与合作交流”的学习策略，易于学生接受。叶澜教授在《新基础教育》中指出：“新课程的课堂，要求教师一切课堂教学行为都必须为学生充分从事数学学习活动而服务，让学生通过同伴之间、师生之间积极的相互影响来提高学习的有效性，使学生的数学学习活动过程成为一个生动活泼的、主动的和富有个性的学习过程。”建构主义认为：知识的获得不是由传递完成的，知识只能在综合的学习情境中被交流、被感悟、被结晶。学习过程并不简单地是信息的输入、存储和提取，而是新旧经验之间的双向的相互作用的过程，而是学生在自己原有经验基础上的主动建构的过程。因此，学习并不是一种简单的告诉，而是一种体验。所以错例就是一种载体，可以帮助我们建立一种正确的学习观念和方法，为我们建立一种有效课程资源。以下例子可以为我们提供佐证。
案例3：麻烦的利息问题。
李老师把2000元钱存入银行，整存整取三年，年利率按4.14%计算，（利息税率20%），到期时，李老师可得本息多少元？
正解：2000×4.14%×3×（1－20%）+2000＝2198.72元
错例1：2000×4.14%×3＝248.4元
错例2：2000×4.14%×3+2000＝2248.4元
错例3：2000×4.14%×3×20%+2000＝2049.68元
错例4：2000×4.14%×3×（1－20%）+2000＝3987.2元
错例分析：利息问题是百分数知识在实际生活应用的一个典型的例子，但储蓄相关知识学生知道的并不多，而且本题要计算税后利息涉及到的因素比较多，有本金、利率、时间、利息税率等，因此学生计算税后利息时出现的状况比较多。主要是相关概念的理解不是很清楚，错例1、2都是混淆了利息和税后利息。错例4是百分数的计算错误。
应对策略：这一错例因为学生“错误百出”（全班正确率不到50%），我印象深刻，所以在这个学期教学这一内容前我认真的反思，把掌握利息、利息税、税后利息的计算方法作为教学的重点。
教学实录：
（课前布置学生到银行去调查年利率，并了解相关储蓄的知识。）
师：课前同学们到银行调查了有关储蓄的知识，谁愿意和大家交流一下你的调查情况。
生1：我知道把钱放到银行里是有好处的，可以得到一些利息。
生2：我知道储蓄分活期和定期两种。定期又可分为零存整取和整存整取两大类。
生3：我调查了存款的年利率：
存期（整存整取） | 年利率 % |
活期 | 0.98 |
一年 | 4.14 |
二年 | 4.68 |
三年 | 5.4 |
五年 | 5.85 |
生4：我调查到存款要交利息税，另外教育储蓄不用交税。
……
师：同学们真了不起，了解这么多。那么你觉的利息的多少会跟什么有关呢？
生1：我觉得跟存钱的多少有关，存的越多得到的利息越多，我想还跟存的时间有关，存的时间越长利息越多。
生2：我认为利息还跟利率有关，因为存期不同年利率不同。
师：说的真不错，存入银行的钱我们称为本金，那利息到底跟本金，时间，利率有什么样的关系呢？
生3：我知道利息＝本金×利率×时间
师：你真棒，我们大家一起来把求利息公式读一读记一记。
师：如果你有300元压岁钱，你准备怎么存？选择一种你喜欢的存款方式，并算一算到期时你可以得到多少利息？
生独立计算
汇报：
一年：300×4.14%×1＝12.42
二年：300×4.68%×2＝28.08
三年：300×5.4%×3＝48.6
五年：300×5.85%×5＝87.75
师：看到计算结果你有什么想法？
生1：存的时间长一些，利息就会多一些，所以我选择存五年。
生2：我有不同的想法，如果时间太长，需要用钱的时候如果没有到期取出来，就要按活期存款的利率计算利息了，那么利息就少了。
师：生2说的有道理，假如生1在存了两年的时候急需要用钱了，大家帮他算算这时取出钱他可以得到多少利息。
生：300×0.98%×2＝5.88,比存一年期的还要少。
师：看样子我们在存钱时还应该根据自己的实际情况确定怎样存。刚才我们根据自己的需要选择了喜欢的存款方式，并算出了利息，到期时你就能得到那么多的利息吗？
生：不能，因为还要交利息税。
师：交税能支援国家建设是一件光荣的事，现在的利息税率是5%，你知道利息税怎么求吗？
生：利息税＝利息×利息税率
师：那么我们再来算一算你应该交多少利息税。
汇报：
一年：12.42×5%＝0.621
师：0.621是多少钱？
生：6角2分1厘
师：因为现行的人民币最小到分，所以在计算利息和利息税时一般保留两位小数
二年：28.08×5%＝1.4
三年：48.6×5%＝2.43
五年：87.75×5%＝4.39
师：现在你能求出你实际能得到多少利息了吗？
汇报：
一年：12.42－0.62＝11.8
二年：28.08－1.4＝26.68
三年：48.6－2.43＝46.17
五年：87.75－4.39＝83.36
师：实得利息也称为税后利息，谁来总结一下税后利息的求法？
生：税后利息＝利息－利息税或税后利息＝利息×（1－5%）
师：根据求利息的公式我们可以知道税后利息＝本金×利率×时间×（1－5%）
师：那么到期时你拿着存单去取钱时，银行到底应该给你多少钱呢？
汇报：
一年：311.8
二年：326.68
三年： 346.17
五年： 383.36
师：对了，可别忘了拿回本金，不然的话真是捡了芝麻丢了西瓜。
练习：错例3
反思：学生在认知过程中，难免会出现这样或那样的错误，教师要留心捕捉和筛选学生在学习活动中反馈出来的有利于促进学生进一步发展的错误资源，建立错题集锦，据此来调整教学行为。本案例中利息、利息税、税后利息，是三个有区别但又紧密关联的概念，学生很容易混淆。因此在教学设计时我始终以300元压岁钱可以得到多少利息这一情境作为主线一层层展开教学。使学生逐步建立利息、利息税、税后利息的概念和感受其联系和区别，并掌握计算方法。从练习的效果来看正确率大大提高了（达到了95%）。所以教师要有意识的挖掘学生的错误资源，并认真剖析，以错引正，正本清源。
四、“错例”与“好题”结合摘录，分类渗透常用数学思想方法。
《数学课程标准》要求教师帮助学生掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法，获得广泛的教学活动经验。错例摘录分类很必要，分类的方法很多，如按题型分类：填空题、判断题、选择题、综合实践题等；如按内容分类：六年级上册第一单元（圆）错例集锦、五年级下册分数混合运算错例集锦等；如按常用数学思想方法分类：假设法解题集锦、转化法解题集锦等。
做好分类渗透应该注意以下四点：
（1）建构的主体是学生。错例不是教材和教师给的，也不是指令要求学生去建立的，应该是学生主动建构寻找。前两者不难，在教学中也常见，但培养学生主动建构的意识，则需要重视和研究。这对学生的发展来说，其意义远大于仅仅获得某些数学知识。
（2）建构一种渗透意识，基本要求是“经历”，而不是掌握
（3）建构的形式多样。如对于一个实际错例，不同学生可以建立不同的数学思想和解题思路；对于不同的实际错例，也可以规类成几个个数学模式，体现学生学习上的差异和个性，我们倡导的是个人意义上最优化的建构。
（4）建构一种错例情形下的方法，价值具有两面性。直观、形象、简洁的一面有利于学生理解、掌握和运用数学知识解决问题；但固定、模式化的另一面，则限制人的思维。扬其所长，避其所短，正是我们建构教学过程中的正确教学观
（一）、假设法解题集锦
例1：已知a× ＝b×1 ＝c÷1则（ ）
A、a>b>c B、a>c>b C、c>b>a D、b>c>a
分析：假设a× ＝b×1 ＝c÷1＝1,根据倒数的意义可得，a＝1 ， b＝ ，c＝1，所以a>c>b故选B
例2：学校举行智力竞赛，共有10道题，评分标准是每对一题得8分，每答错一题倒扣5分，小明共得41分，他答对了几道题？
分析：这是一道《鸡兔同笼问题》发展题，假设小明10题全做对，他应得8×10＝80分，实际他只得了41分，少得了80－41＝39分，因为每错一题要倒扣5分，所以错一题他要损失5+8＝13分，所以他答对了10－39÷13＝7道。
例3：学校有篮球和足球共21个，篮球借出 ，足球借出1个，剩下的两种球的个数相等，篮球和足球各有多少个？
分析：这道题的数量关系比较隐蔽，假设篮球的个数不变，看做单位“1”,足球借出1个后，剩下两种球的总数为21－1＝20个，由条件可知，足球借出后，足球剩下的个数是原来篮球个数的 ，因此20个就与篮球个数的1+ ＝1 相对应，所以篮球有20÷1 ＝12个，足球有21－12＝9个。
（二）转化法解题集锦
例1：甲乙两人合作一项工程，12天可以完成，实际甲先做了6天，剩下的由乙做了15天才完成，这项工作由甲独做需要多少天才能完成？
分析：把“实际甲先做了6天，剩下的由乙做了15天才完成”转化成“甲乙合作6天，乙独做9天完成”，则乙的工作效率为（1－ ×6）÷9＝ ，甲的工作效率为 － ＝ ，所以甲独做需要1÷ ＝36天。
例2：甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的件数是乙、丙两人的 ，乙生产的件数是甲、丙的 ，丙做了240件。这批玩具共有多少件？
分析：把甲生产的件数是乙、丙两人的 ，转化成甲生产的件数是甲、乙、丙的 ÷（1+ ）＝ ；把乙生产的件数是甲、丙的 转化成乙生产的件数是甲、乙、丙的 ÷（1+ ）＝ ，所以这批玩具的总数为240÷（1－ － ）＝576件。
经过几年的积累，我手中已经有几本错例摘录本，这些本子真正成了我的“宝贝”备课前都要拿出来翻一翻，这使我的教学更加有的放矢。特别在复习阶段，它成为重要的复习资源，使复习更具针对性，避免了搞题海战术，可以切实的减轻学生的负担。摘录本还成为我的题库，并且这个题库在不断的充实中。
第二部分：基于学生层面错例摘录的实践研究
一、操作流程
每周一到周五学生把练习和考试中自己出错的题目摘录并做好错因分析。周六、周日完成错例摘录本错例的解答（要求与摘录用不同颜色的笔）。
例1：《课堂作业》P17：
西民村要修建一个长方体蓄水池，计划能蓄水720升，已知水池长18米，宽8米。蓄水池深至少是多少米？
错解：720÷（18×8）=5米
错因分析：掉进“单位陷阱”了，把“升”与立方米的关系理解为“1升=1立方米”
正解：720÷（180×80）=0.05分米=0.005米或者720升＝0.72立方米，0.72÷（180×80）＝0.005米。
例2：《每课一练》P35：
一个长方体，底面是正方形，侧面展开是一个周长500px的正方形，这个长方体的表面积、体积各是多少？
错解：V=5×5×10=250 cm3 S=（5×5+5×10+10×5）×2=250 cm2
错因分析：把侧面展开是一个周长500px的正方形”理解为“上下底面中的一个面”
正解：20÷4=125px（高） 5÷4=31.25px(长和宽) S=1.25×1.25×2+5×1.25×4=703.125px2 V=1.25×1.25×5=195.3125px3
艾宾浩斯遗忘曲线表明遗忘的发展是“先快后慢”，所以安排每周一轮错例摘录的解答，可以及时巩固所学的知识。
二、充分利用
如果摘录后就把摘录本放在一边，错题摘录本起的作用也不大。所以要好好利用它。
1、复习资料。
错例摘录本作为一份重要的复习资料，平时经常拿出来翻一翻，看一看。特别是到了期末总复习的阶段，错例摘录本是必看的复习资料。这样的复习方式不仅具有针对性，还可以减轻学习的负担，提高复习的效率。
2、资源共享
（1）互换
为了进一步利用摘录本，提高它的利用率，每月还组织学生摘录本大交换，可以同桌两人交换，也可以四人小组甚至大组内交换，正所谓“它山之石，可以攻玉”看看做做别人摘录的题目，做到“有则改之，无则加勉”。
（2）展示
把比较典型的错例或规范的错例摘录在班级展示台中展出，让全班的同学学习借鉴，同样有很好的效果。
（3）收集
把同学的错例摘录本上的一些有代表性的错例收集起来，并分类组成《错例集锦》。不但可以做为复习资料直接使用，还可以作为题库备用。
错例摘录于学生而言是一种十分有效的学习方法，老师应该注重培养学生良好的错例摘录的习惯，关键是要激发学生摘录的兴趣，调动学生摘录积极性并引发学生积极的反思，然持之以恒很重要。于老师而言，错例摘录不仅有利于教师及时了解学情，便于老师改进教学策略，使教学工作更加有的放矢。还有利于教师有针对性的进行辅导和复习，避免了盲目性。因此教师在平时的教学工作中要做个有心人，多观察，勤摘录，重反思，积极探求轻负高质之路。
