作者：雍俊 单位：四川大学附属实验小学分校
概念教学是小学数学教学中最基础也最为重要的内容。概念教学应围绕概念的本质，从“引入、理解、辨析、应用”四个环节入手，帮助学生同化或顺应概念，把握内涵，丰富概念的外延。在教学《生活中的比》这节课时，围绕“比表示两个量的倍数关系”这个核心，由“引入比，理解比，辨析比和应用比”四个环节完成概念的生成、分析和组织。
【教学实录】
一、话题情境，引入概念
师：我们使用的纸是用木材经过一系列加工生产出来的。（出示：制造6千克的纸需要用掉木材12千克，制造15千克纸需要多少千克木材？）
生：我先用12÷6算出生产1千克纸需要多少千克木材，再用2×15算出生产15千克纸需要多少千克木材。算式是12÷6×15。
师：好，那这里第一步中的12表示的是什么？
生：木材有12千克。
师：嗯，木材的质量。那6表示什么？
生：纸的质量。
师：12除以6算的是什么？
生：木材的质量是纸的2倍。
师：这个算式用除法描述了木材质量和纸的倍数关系。我们今天要继续研究倍数关系，它除了用除法算式表示，在数学里还可以用另一种形式“比”来表示，今天我们就来学习“生活中的比”。
在这里，我们用12÷6表示木材的质量是纸的2倍，这个倍数关系，我们还可以说：木材和纸的比是12：6。木材和纸的比是12：6与12÷6一样，都表示木材和纸的倍数关系，可以记作12：6。
【教学思考】概念教学的第一步，应是适时引入概念。教材主题图讨论“哪几张图片与图A比较像”，实际上是一个比例问题，既可以看每幅图的长与宽之比，也可以看两幅图的长与长，宽与宽之比，看它们的比值是否相等。六年级下册教学“比例”的主题图也是采用这个素材。那么教材在这里的主要意图，应该是由此引出用除法表示两个量之间的倍数关系。但在实际教学中，用教材主题图去讨论哪些图片与图A相像，往往花费较多的时间。因此，开课时选择了一个较简单的“归一问题”，通过对第一步的解读，引出用除法表示“倍比”关系，进而揭示这节课的主旨，用比这种形式来表示倍数关系。
二、抓内涵、拓外延，理解概念
1．用比表示倍数关系
（出示长方形：长120厘米，宽80厘米）
师：倍数关系可以用比来表示，你能用比表示下面两个量之间的倍数关系吗？
生：长与宽的比是120：80。
师：这个比表示的是谁与谁的倍数关系？
生：表示的是长与宽的倍数关系。
师：还能找到哪个比？
生：宽与长的比是80：120。
师：想想，120：80和80：120的意思一样吗？
生：（齐说）不一样。
生：120：80表示的是长与宽的比，而80：120表示的是宽与长的比。顺序不一样，两个比所表示的意义也是不一样的。
【教学思考】教学时要注意理解概念的内涵与外延。概念的内涵是概念的本质属性，而外延则是具有这些属性的对象的集合。比的本质是表示量与量的倍数关系，由这个核心引出其它问题，如用比表示两个量的倍比关系，作比的两个量的顺序等。
2．说说比的含义
师：给你一个比，你能知道些什么？
生1：能知道是谁和谁在比。
生2：能知道一个是另一个的几倍。
师：你能说一说甘蔗汁和水的体积之间的倍数关系吗？
（出示甘蔗汁图：甘蔗汁和水的体积比是1比2。）
生：水的体积是甘蔗汁的2倍。
生：甘蔗汁的体积是水的。
师：除了倍数关系，你还能从这个比中直接看出什么？
生：要是甘蔗汁是1杯，水就是2杯。
生：我觉得可以这样说，甘蔗汁是1份，水就是2份。
师：如果甘蔗汁是2份，那水就是…
生：4份。
师：看来，通过这个比，我们可以直接看出它们的份数，如果知道其中一个的份数，也就能知道另一个的份数。
问：甘蔗汁有n份，那水有……
生：2n份。
师：这里的n和2n也能直接看出它们之间的关系。通过一个比，我们能读出它背后所表达的数学信息。通常能看出倍数关系，既可以用一个数来表示它们之间的倍数关系，也可以直接用份数来表达它们的倍数关系。
【教学思考】比的实质是表示量与量的倍数关系，在解读时要注意它的两层含义：一是用数来表示倍数关系，即通过一个比，可以知道，谁是谁的几倍，谁是谁的几分之几；二是直接用份数描述倍数关系，即一个量是几份时，另一个量是几份。
3．理解同类量与不同类量的比
（1）师：来，我们一起看看刚才学习的这几个比：
木材质量与纸的比是12 ? 6；它们是质量与质量作比，单位都是千克；
长与宽的比是120 ? 80；它们是长度与长度作比，单位都是厘米；
甘蔗汁和水的体积比是1 ? 2；它们是体积与体积作比，单位一样；
树高和影长的比是6 ? 3；它们是长度与长度作比，单位一样；
师：这些都是同一类的两个量在作比，就是同类量的比。这些比都表示它们的倍数关系。
师：同类量的比可以表示它们之间的倍数关系，那么，不同类量的比也可以吗？
（出示：马拉松选手2小时跑了40km，他的速度是多少？）
（2）师：你是怎样计算速度的？用到了什么数量关系？
生：40÷2=20（千米/时），路程÷时间=速度。
师：我们也可以用比来表示路程和时间的关系，谁来说说怎样表示？
生1：40：2。表示的是路程和时间的比。
生2：路程和时间的比，把它计算出来，就能得到速度。
师：看来，两个相关联的不同类量作比，可以表示一个新的量。
（总价和数量的比教学环节略）
【教学思考】同类量的比表示它们的倍数关系，相关联的不同类量的比，会产生一个新的量。在实际应用中经常会遇到不同类量的比，如路程和时间的比，质量和体积的比。这也是将来学习的基础，如中学学习中密度、压强等。小学阶段涉及到“路程与时间之比”和“总价与数量之比”这两种情况较多。教学时，可以借助学生己有经验，较快地同化概念。
4．归纳概括，抽象概念。
师：回顾我们刚刚学过的这些比，你能用自己的话来说一说什么是比吗？
生1：比就是表示两个量之间的关系。
生2：比可以表示倍数关系。
生3：我们看到一个比，可以知道一个是几份，另一个是几份。
生4：比和除法一样，都可以表示两个量的倍数关系。
师：这些例子都是通过两数相除来表示两个数量之间的倍数关系，它们都可以用比来表示，所以“两个数相除又叫做两个数的比”。
【教学思考】概念的生成是通过对外延的不断拓展与内涵的析取中逐渐完成的。在教学时让学生用比来表示倍数关系，随后让学生充分说清比表示的含义，在同类量与不同类量的比的认识后，在此己对“比”有了充分的理解，进而在此基础上抽象出比的概念。
三、深化认识，辨析概念
1．生活中的比
师：生活中有很多地方都用到了比。谁能联系实际举例说一说生活中的比？在四人小组里交流交流。
生1：我在看足球比赛时，看到了两个队的比分是4：2。这个比是表示分数的比。
生2：（小声）这个不是比吧？
师：这个4：2是我们今天学的意义上的比吗？
生3：我觉得这个是记分情况。
追问：它可以表示倍数关系吗？
生4：这个比只是表示得分情况，不表示它们的倍数关系。
生5：两个队的得分，一个队是另一个队的2倍。可以呀。
生6：那为什么不直接记成2：1呢？所以，这个4：2只是得分情况，不表示倍数关系。
师：足球比赛中的比分足球比分只是一种记分形式，它不表示两个球队之间的倍数关系，所以不是我们今天学习的数学中的比。还有吗？
生1：金龙鱼的广告中有比是1：1：1。
师：从这个比中你了解到了什么？
生1：这三种营养物质的比是1：1：1。
生2：三种营养物质都是一样多，都是一份。
师：它表示的是几个量之间的倍数关系？
生2：表示的是三个量之间的关系。
师：看来“比”不仅可以表示两个量的倍数关系，还可以表示…的倍数关系。
生：（接）3个量。
师：那还可以表示…的倍数关系。 生：（接）4个量。
师：还可以表示…的倍数关系。 生：（接）5个。
师：可以表示多个量的倍数关系。
（其它实例汇报后，交流所表示的含义。）
师：看来，生活中有大量的比，只要你用数学的眼光去看，就能获得许多数学信息。
【教学思考】数学概念需要生活中的实例来拓展它的外延，但有时生活概念与数学概念又并不完全相同，因此，既要用概念的实质进行辨析，又要在交流中理解比的含义。课堂上，利用了学生生成的素材引导学生从本质去辨析，足球比分并不表示两个球队之间的倍数关系，而只是一种记分形式。另外，比可以表示多个量之间的关系，而除法和分数则表示两个量的关系。
2．自学比的各部分名称，计算比值。
3. 说一说比与除法、分数的联系。
问：比和除法，分数之间联系非常紧密。除法可以表示倍数关系，比也可以表示倍数关系，既然都可以表示倍数关系，那为什么还要学习比？
生：比可以表示三个量之间的关系。
生：比可以知道是几份。
生：看到比就可以直接说出谁是几份。
师：嗯，方便我们直接描述。
【教学思考】比是在学习了除法、分数等知识的基础之上进行教学的，所以知识间的联系在教学中也应予以关注。虽然比与除法、分数有着密切联系，但又不完全等同，比更强调的是量与量之间的倍比关系的直接描述，有时并不关注具体的比值是多少，而除法、分数更多的是强调两个量之间的一种运算关系，通常也会同时关注运算结果。
四、巩固练习，应用概念（略）
1. 填一填。
汇报交流。
2. 全课总结。
师：通过今天的学习，你对比有什么样的认识，你有哪些收获呢？还有哪些问题呢？
生1：我知道了比的前项，后项，和怎样求比值。我还知道了什么是比，比就是表示倍数关系的，还可以直接看出份数。
生2：我想补充的是，今天学习的比，还可以化简，比也可以用分数的形式来表示。其实除法是一种运算，而比是表示的是两个量之间的关系。
生3：比可以表示很多个比，嗯，就是多个量的比。我还想知道，比可以怎样化简？
师：看来大家都有自己的收获，也还有一些疑问，带着这些收获和问题，我们可以在课后交流，在以后的学习中去进一步探索
【教学思考】概念的应用主要围绕对概念本质的理解来展开。比的概念练习设计包含以下四个层次，第一，根据信息写出比，注意相比的两个量的前后顺序；第二，根据一个比，能用分数、份数进行意义解读，说清楚谁是几份，谁是谁的几分之几；第三，能根据分数知道两个量的比是多少；第四，能写出多个量的比，注意量与各项的对应关系。
