作者：雍俊 单位：四川大学附属实验小学分校
[摘要] 数学概念的学习应当基于学生认知的主动参与，对概念的深入理解并进行具有反思性的概念网络的建构。在小学概念教学中，应当以解决概念的核心本质作为任务驱动，理解和区分概念的内涵与外延，在对比与实例的意义解读中，促进数学概念的深度学习。
随着课程改革的不断深入，基础教育已然进入核心素养时代。深度学习作为近年来学习领域的研究热点，其理论被广泛、充分地运用于教学各领域。培养学生核心素养，发展学生数学核心能力，需要从学生对数学概念的掌握入手，促进学生的深度学习。
一、何为“深度学习”
（一）深度学习的研究发展
深度学习的理论，可以追根溯源到1956年布卢姆对教学目标的分类，将认知维度的目标划分为深浅两个层次。1976年，Ference Marton和Roger Saljo共同发表了《学习的本质区别：结果和过程》，借鉴了布卢姆的目标分类理论，明确地提出了“深度学习”这一概念。上个世纪末，Biggs、Ramsden等先后从不同角度发展了其相关理论。2010年，美国休尼特基金会宣布开展SDL深度学习研究项目，在理论上对深度学习的概念和内涵都进行了科学的界定和解释，并通过深度学习实验学校的建立，在实践上进行操作验证。
国内较早引入深度学习概念的为2005年黎加厚教授在《促进学生深度学习》一文中对深度学习的提出背景、定义和特点、教学策略进行了介绍。较早关注到深度学习的是信息技术领域。2010年后，深度教学的研究逐渐成为教育研究的热点与重点，不断丰富了深度学习的内涵，深度学习与教学的联系也不再局限于信息领域。随着学生发展核心素养的提出，发展学生核心能力与深度学习的融合研究成为教育教学重点研究领域。
（二）深度学习的特点
“深度学习是一种基于理解的学习，是指学习者以高阶思维的发展和实际问题的解决为目标，以整合的知识为内容，积极主动地、批判性地学习新的知识和思想，并将它融入原有的认知结构中，且能将已有的知识迁移到新的情境的一种学习。” [①]基于对深层学习、浅层学习的对比，目前达成的共识中，认为其区别于其它学习的较为重要特征就是其涉及较高层次的认知成分，充满高阶思维活动。黎加厚教授在介绍深度学习的三个重要特点分别为：理解与批判、联系与建构、迁移与应用。
对“深度学习”的本质理解，促成了其理论于一般教学的应用。有的认为深度学习应是基于“问题”的学习、以任务驱动和注重过程性评价的学习；有的提出课堂教学从目标上要确立高阶思维发展的教学目标，引导学生深度理解，整合意义联接的学习内容，引导学生批判建构，创设促进深度学习的真实情境，引导学生积极体验，选择持续关注的评价方式，引导学生深度反思。
二、数学概念教学需要走向深度学习
数学概念，是从数量关系和空间形式方面反映事物的本质属性和内在联系的，用语言和符号揭示事物的共同属性（本质属性）的思维形式。[②]数学概念教学是小学数学教学的重点，也是难点。概念学习的目标应是促进学生深入理解数学概念，发展数学思维，深度学习为实现这一目标提供了有效路径。
（一）深度学习是解决数学概念学习中普遍问题的有效途径。
数学概念学习是一个较为长期的过程。小学阶段，由于数学概念的基础性，概念的抽象与学生认知所处的水平存在着一定的距离，部分概念是在不断深化的过程中建构起来的。概念学习走向深度学习，能有效减少学习过程中出现的下列问题：
一是元概念的学习影响后续概念的深入理解。二是无法突破教材知识的逻辑线索，形成更为全面整体的知识网络结构。三是概念混淆不清，问题解决中暴露出对概念的理解不清，不深，不具体的问题。这些问题，长期影响孩子的数学学习，解决必须从源头上抓起。
（二）深度学习有助于学生把握小学数学概念的特点。
小学数学概念较多，从数学领域来讲，数概念，计量概念，几何图形概念，统计概念，每类有其各自的特点。教师应整体把握，系统建构。例如，在数的概念学习中，要从数数的范围，数的符号，数的性质，数的应用和数的运算等方面深入理解“数”的意义。又如图形概念，由于不同于过程性概念，具有形象性，概念意象多为具体的图形，而不能只注重言语的描述。各类概念各具特点，教学时要因内容设目标，因内容选择教法、学法。以三年级下期为例，教师应对知识的目标分类，学习到什么程度、怎么学要心中有数。
概念类型 | 相关概念 | 学习目标 | |
数概念 | 数的范围 | 分数 | 结合具体情境和直观操作，初步理解分数的意义，能读写分数，会比较两个简单分数的大小。 |
计量概念 | 质量单位 | 吨 | 结合具体情境，认识“吨”，了解1吨有多重，知道1吨=1000千克，并能进行简单的换算。 |
几何概念 | 面积 | 结合具体实例，认识面积的含义。经历比较图形大小的过程，探索比较图形大小的方法（割补法、摆方块等），积累比较图形面积的直接经验。 | |
（三）高阶思维发展是数学概念深度学习的目标指向。
培养学生核心素养，从学科角度来讲，数学的学习就是要促进学生思维的发展，使学生学会数学地思维。数学概念的学习，旨在发展学生高阶思维，更为具体地讲是提高和发展学生思维的主动性，深刻性，反思与批判性。
一是要使学生积极投入认知活动。从概念学习的阶段来看，由“概念引入”到“概念生成、建构”再到“概念运用巩固”，需要学生认知的主动参与，通过概念形成和概念同化两种方式，促进概念的深度学习。
二是数学概念理解的深度与广度决定学生思维发展的品质。学生思维品质体现在思维的灵活性、深刻性、批判性、敏捷性和创造性。数学概念的深度学习有助于学生思维品质的发展。概念的学习离不开思维中的抽象、概括、分类。
三是数学概念的深度学习能促成对概念的反思与批判。只有在深入理解概念的基础之上，才能形成对数学概念本质的反思，对类似概念的批判。典型的例子就是数学中的比与足球比分的辨析，只有在明确了数学中比的意义后，才能区分出足球比分并不属于数学意义上的比。
三、丰富教学策略，促进学生概念的深度学习
（1）从核心问题的任务驱动中，促进数学概念本质理解。
概念教学，首先要搞清楚关于概念的核心问题，即这个概念的本质是什么，也就是要解决“是什么”的问题。在解决是什么问题时，要不断地提供辅助问题，以问题驱动形式，促进学生主动探究，形成数学概念的本质理解。
例如，在教学比的认识前，需要弄清楚的核心问题，就是“什么是比？”也就是比的本质到底是什么。教材中用“两个数相除，又叫做两个数的比”，仅仅是从形式上来描述，学习完了以后，不免会出现“既然两个数相除又两个数的比，那为什么还要学习比”的疑问。比是表示两个量的倍数关系，因此在教学比的过程中，应抓住“倍数关系”这个核心。比的认识应抓住两种解读：一是表示倍数关系，通过一个比，可以知道谁是谁的几倍，谁是谁的几分之几；二是直接用份数描述倍数关系，即一个量是几份时，另一个量是几份。
（2）从概念的描述转向定义，促进核心概念内涵与外延的主动建构。
小学阶段的数学概念，主要有描述型和定义型呈现，中低段多以描述型呈现，高段逐渐过渡到以定义型为主。基于深度学习的概念教学，提倡每一个概念的学习，都经历由描述走向定义，这里的定义并不是要求每位学生单纯地用严格的数学语言去定义概念，而是从概念的内涵，即这个概念的本质属性去理解概念，在核心问题的驱动下，主动对概念外延的描述中形成对概念内涵的界定，抓住概念的内涵与外延，促进数学概念的深度学习。
教材中，数学概念的呈现有所不同，但这并不意味着学习可以停于表面。例如：“平行”的概念，通过平移画出很多组实例，再观察发现“像这样的两条直线互相平行”。教学时是否只需要观察得出“像这样的两条直线互相平行”就可以了？研究同一平面内的两条直线的关系，必须清楚它们不相交，没有交点，这样的位置关系叫作互相平行，平行是相对来讲的。平行概念既要有感知意义上的操作，又有其本质属性的揭示，才能实现概念由描述走向定义，认识上也较单纯的描述更深刻。
（3）从丰富实例中找寻思维载体，促进概念的理解意义解读。
数学概念的特点决定概念学习要从具体实例入手。概念的引入有多种方法，小学阶段主要采取的方式有三种：一是利用学生生活实际和其所熟悉的一些事物和事例，从对它们的直觉和表象中获得感性认识，而后引入数学概念。二是采用教具、模型、图表、图画、多媒体等手段，增加学生感性认识引入概念。三是通过学生实际操作，使抽象概念具体化，再引入概念。教材中的实例，不仅提供了概念引入的素材，也为概念内涵与外延的界定提供了思维载体，用举例说明的方式便于学生表达，有助于概念的意义解读。
多样化的实例能促使学生形成丰富的概念意象。教学时还应在丰富的生活素材中找寻更多与概念联系、区别的实例，为概念发展的思维提供有效载体。突破教材中概念呈现方式的单一，多角度呈现，学生在对众多素材的学习中，逐渐形成丰富多元的概念意象。往往有时候，学生在提到某一概念时，脱口而出的是其某一个具体的实例，这种“朴素的直观”[③]体现的正是概念学习中样例学习带来的结果。反之，概念意象的模糊性，分散性和不一致性，则会使学生对概念的理解发生偏差。
生活中的素材需要精挑细选。例如学习面积时，选用了这样几例来认识物体表面有大有小：同学踢球砸坏了玻璃，找来工人叔叔，该选择多大的玻璃才能安装好呢？街道上下水道的井盖坏了，需要选择多大的井盖呢？警察利用脚印大小能在一定范围内找出嫌疑人吗？这些实例有助于理解物体的表面有大有小，在头脑中形成了诸多概念表象。在概念形成后，再反思这些实例时，便能很自然地脱口而出，面积就是这些面的大小，这也是概念直观的体现。
（4）从横向联系与纵向对比中，促进概念学习的深度反思。
概念的深度学习离不开概念之间的联系与区别。上位概念与下位概念的种属关系，需要理清哪些特征是下位概念独有的，要区分属性的多少差别；横向的概念比较，则是突出该概念与概念的不同之处，明确其独有特性。以三角形的分类为例，直角三角形与钝角三角形，都是三角形，都符合三角形的特征，而直角三角形是有一个角是直角的三角形，有一个角是钝角的三角形就是钝角三角形，两者的区别则是三角形中最大的一个角是直角或钝角，这样区别就能形成横、纵间的联系与对比。
又如，上文所述比的概念，是在学习了除法、分数等知识基础之上进行教学的，所以知识间的联系在教学中也应予以关注。虽然比与除法、分数有着密切联系，但又不完全等同，比更强调的是量与量之间的倍比关系的直接描述，有时并不关注具体的比值是多少，而除法、分数更多的是强调两个量之间的一种运算关系，通常也会同时关注运算结果。很多老师喜欢用列表的方式，对“比”与除法、分数知识进行联系对比，这样从形式上对三者进行了有效联结，但还应强调的是它们的本质区别。
深度学习要将概念引入概念域。教学中要注意概念的相互联系与知识的整体结构，概念所处的体系，也就是概念域的形成，就是学生思维整体性的发展。概念的上下、左右联系，在不断的与其它概念进行辨析中，形成立体的概念网络。例如，数概念的丰富与发展是一个长期的过程，从整数到小数，从小数到分数，从正数到负数，各类数的意义，数的读写与组成，数的大小比较，数与数量的学习，都有助于学生形成良好的数感。随着“数系”的不断扩大，每一类数概念的形成，都既要深刻认识到这一类数的特征，又要在与其它类数的对比与联系中巩固和运用，促进数概念的深度学习。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]何玲,黎加厚. 促进学生深度学习[J]. 现代教学,2005,(5)：29-30.
[3]安富海. 促进深度学习的课堂教学策略研究[J]. 课程.教材.教法,2014,(11)：57-62.
[4]吴秀娟,张浩,倪厂清. 基于反思的深度学习:内涵与过程[J]. 电化教育研究,2014,(12).
[5]张浩,吴秀娟. 深度学习的内涵及认知理论基础探析[J]. 中国电化教育,2012,(10)：7-11.
[6]卜彩丽,冯晓晓,张宝辉. 深度学习的概念、策略、效果及其启示——美国深度学习项目(SDL)的解读与分析[J]. 远程教育杂志,2016,(5)：75-82.
[7]慕彦瑾,段金菊. 基于认知心理学理论的深度学习设计研究[J]. 内蒙古师范大学学报(教育科学版),2012,(7)：65—69.
[8]邵光华,章建跃. 数学概念的分类、特征及其教学探讨[J]. 课程.教材.教法，2009，(7)：47-51.
[9]郑毓信. 数学思维与小学数学[M].江苏：江苏教育出版社，2008.
[10]汪绳祖. 小学数学教育学[M]. 北京：高等教育出版社，1997.
